От чего зависят границы познания?

Авторская колонка

С самого детства я любил математику. Мне нравилось решать сложные задачки, головоломки. Одной из любимых книг детства было издание по вырезанию моделей из бумаги. Дома и машинки, трактора и поезда, самолёты и вертолёты – всё это было доступно и понятно описано и самое главное, что из картона и бумаги это сделать было очень просто. В основе всего была геометрия - математика пространства. Всё это очень хорошо тренирует пространственное воображение, что очень пригодилось мне в жизни. Недаром Ломоносов говорил «Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит».

Ещё больше меня поразила высшая математика. Когда я её изучал, самое удивительное для меня была её строгость и стройность. Всё чётко следовало одно за другим и понимая все закономерности можно было практически ничего не запоминать, а просто выводить все теоремы заново. Интегралы и производные, пределы и последовательности, леммы и теоремы, всё это казалось простым и понятным, когда была видна вся цепочка рассуждений от простых чисел и функций.

И вот, как-то раз на даче, в уютный тёплый вечер, я обнаружил на полке потрёпанную книгу по математическому анализу, начал её перелистывать и вспоминать то, что когда-то изучал. С большим удовольствием я вспоминал теоремы и доказательства, определения и утверждения, свойства и закономерности. Однако мой взгляд уцепился за один параграф, где давалось определение функции. Я заметил, что внизу была сноска, где мелким шрифтом был комментарий по поводу этого определения. В нём было написано, что понятие «функция» и понятие «число» относятся к так называемым начальным понятиям и невозможно в полной мере дать им определение, не используя их же самих или схожих понятий, таких как данные, алгоритм, программа и пр. (Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Основы математического анализа. В 2-х ч.», глава 1, параграф 1) Любопытный факт, подумал я. Как же так, в учебнике доказывались сложнейшие теоремы, а такую простую вещь, как дать определение простейшим понятиям «число» и «функция» было невозможно. Самое интересное написано мелким шрифтом. В прошлом этот факт от меня ускользнул, несмотря на то, что перед экзаменом я несколько раз внимательно прочитывал этот учебник.

Вспомнилась одна любопытная теорема, которая подходила под этот случай. Называется она – теорема Гёделя. В простом виде она звучит так: любая формально-логическая система всегда будет содержать утверждения, которые невозможно доказать или дать им определение в рамках этой системы.

В чём же дело? Откуда берутся эти недоказуемые утверждения? Это объяснить очень просто. Если мы, например, захотим составить толковый словарь русского или любого другого языка, то нам будет необходимо определить все термины или слова языка. Однако абсолютно все слова нам определить не получится. Либо останутся так называемые начальные слова и понятия, через которые определяются все остальные, либо будут образованы циклы, когда второе слово определено через первое, третье через второе, а третье опять через первое. Во втором случае будет образован замкнутый круг из определений, который как раз символизирует, что любое понятие из цикла может быть начальным, через которое могут быть определены все остальные. Если в логике всегда из одного следует другое, то неизбежно будет начальное понятие, из которого следуют все остальные.

Размышляя на эту тему, я понял, что необходимо глубже смотреть на вещи. Всегда пользуясь формальной логикой, нужно понимать на что она опирается, и что стоит в её основе. Кроме того, начальные определения будут определять и всё наше мышление. И если эти начальные определения будут дефектными, то и все дальнейшие рассуждения, основанные на ложных посылках, могут оказаться дефектными. Как же правильно выбирать начальные понятия? Не математические ли модели являются основой нашего мышления?

В основе любого мышления должны лежать модели, которые будут в опережающем темпе предсказывать события наперёд. Однако какие модели могут быть кроме математических? С помощью математических и программных моделей сейчас моделируются землетрясения и наводнения, столкновения галактик и климат, химические и биологические процессы. Всё что только можно представить можно представить либо на языке математики, либо в образах. Иначе можно сказать, что любую систему можно представить как информационно-алгоритмическую. При этом информация и алгоритмы аналогичны числам и функциям, поэтому тоже могут быть описаны на языке математики. В каждой математической модели может быть своё пространство и время, своя материя и законы, свои источники энергии и взаимодействия. Однако если даже самые сложные явления можно описать с помощью алгоритмов и данных, то не они ли должны лежать в основе нашего мышления? Хотя главное тут даже не в этом, а в том насколько эффективен будет человек, который опирается на правильные начальные понятия.

Вспомнился, как раз кстати, любопытный случай. Как-то раз налаживал компьютер своему другу. Он настолько далёк от этой темы, что был необычайно удивлён тому, что я в несколько строчек написал простенькую программу, которая автоматизировала резервное копирование его важных данных. Поговорив с ним, я понял, что он был уверен, что компьютер состоит из мышки, клавиатуры, монитора и системного блока. Он смутно представлял, как вообще в компьютере что-то можно изменять, тем более писать новые программы. Однако настоящий специалист будет понимать, что в сущности компьютера всегда лежит информационно-алгоритмическая система. Информация – это данные, алгоритмы – это программа, а исполнительная система – это процессор. Если мыслить категориями алгоритмов и информации, то компьютер представляется не твёрдым неизменяемым материальным объектом, а гибким информационным объектом.

Насколько же иногда могут отличаться границы возможного у людей с разными начальными понятиями. Если кто-то, пользуясь неправильными начальными понятиями считает, что что-то сделать невозможно, то другой, пользуясь более правильными понятиями способен это реализовать. Как же важно бывает выбрать правильные начальные понятия, которые будут твёрдой опорой по жизни. Важно чтобы начальные понятия не ограничивали творчество человека, а наоборот помогали ему понять суть любого явления.

Автор – Наум Матрин.

Почта для обратной связи: naumatrin@mail.ru.